在物理過程的模擬中，一些重要的物理性質可能會因計算方法而失去。例如，可以在不應該損失能量的過程的模擬中引入能量損失。最近，我們發布了新的計算方法來避免此類問題。這些保守離散化可以守恆某些物理量，例如質量、動量和能量，或同時守恆所有物理量。這意味著我們的方法使模擬更準確、更可靠。
為什麼物理量守恆很重要？
質量、動量和能量守恆對於精確模擬物理過程非常重要。如果模擬中使用的計算方法不守恆能量（或質量或動量），則模擬可能會消失或變得不穩定，例如參見下圖。
圖 1：節能方面的不同情況
在耗散情況下，解決方案會消失（左圖）。在節能情況下，解決方案的發展不會損失能量（中）。在不穩定的情況下，解決方案會失控（右圖）。
對這種效應敏感的應用程式的一個很好的例子是湍流的模擬。湍流無所不在：在空氣中、在水中，而且在許多工業應用中。這些流動透過所 富人資料庫 謂的納維-斯托克斯方程式進行數學描述。
湍流的詳細數值研究可以使
用大渦模擬(LES) 或直接數值模擬(DNS)來進行。在這兩種情況下，湍流都是由所謂的能量級聯決定的。這意味著主流的動能轉移到大渦流的動能，並從那裡轉移到較小的渦流。在最小的渦流中，速度差異非常大，以至於動能消散成熱量。為了正確模擬這種湍流，正確計算能量級聯非常重要。我們需要避免不穩定（這會破壞解決方案）和人為耗散（這會導致解決方案消失）。
能量守恆對於地震預測也非常重要
損害程度主要取決於地震的地震能量。因此，應用地震能量的計算比使用地震矩的計算更有用。同樣，正確計算模型中的能量至關重要。
在石油和天然氣工業中節能也很重要
例如在油井的放熱過程和相應的油藏模擬中。同樣，質量、動量和能量守恆對於石油和天然氣勘探地震技術背後的數值計算是必要的。這是因為聲波方程式是由能量無損波動方程式描述的。如果存在任何人為或數值耗散，那麼該解決方案就會完全消失。如果有任何不穩定因素，它就會爆炸。
能量守恆很重要的另一個例子是涉及淺水方程式的計算（另請參見維基百科）。對於此應用，Guus Stelling發明了一種可以選擇局 電子郵件結束語的藝術 – 締造專業形象和深化連結 守恆動量或能量的方法。這是一大進步，但我們的新方法更進一步，因為它同時保存了能量和動量。
所有這些應用都是現實世界的例子
計算方法可以決定模擬的價值，也可以破壞模擬的價值。
哪裡出了問題？
對於每個現實世界的現象（例如上面的例子），都可以製定一個數學公式或數學模型，即：一組描述過程如何隨時間演變的方程式。要使用這樣的模型進行計算，需要將其重新表述為計算機可以處理的形式。這種新的表述稱為連續模型的離散化，反映了電腦只能處理離散步驟而不是連續事物的事實。
在所得現象的離散模型中，原始模型中的（連續）微分算子已被（離散）差分算子取代。不幸的是，並非這些微分算子的所有屬性都會透過它們的離散近似自動繼承。例如，在離散化過程中可能會失去對稱性和正性。此外，質量、動量和能量可能不守恆。
解決方案：保守離散化方法
對稱性保持方法或模擬方法旨在在其離散對應物中保留（或保留）連續微分算子的某些屬性。在我們的論文中，我們提出了一種新的保對稱離散化技術。對於熟悉數值數學術語的人來說：它是結構化曲線交錯網格上任意階的有限差分保對稱離散化。
我們的新方法是透過以特殊形式編寫離散方程式而獲得的。在這裡，我們將簡單（線性）部分與困難（非線性）部分分開。方程式的這些部分都應該滿足某些屬性（與所謂的零空間、對稱性和自共軛性有關）。在我們的論文中，我們描述了滿足所有要求的相應離散化方法。
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